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    <title>线性映射与线性变换</title>
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</head>
<body>

<h2>线性映射与同构映射</h2>

<h3>线性映射</h3>

<p class="definition">
	令 `V`, `W` 都是数域 `bbb P` 上的线性空间, 称映射
	`f: V to W` 为 `V` 到 `W` 的一个<b>线性映射</b>, 如果 `f`
	保持加法和数乘运算, 即对任意 `bm alpha, bm beta in V` 和任意 `k in bbb
	P`,
	<span class="formula">
		`f(bm alpha + bm beta) = f(bm alpha) + f(bm beta)`,
		`quad f(k bm alpha) = k f(bm alpha)`.
	</span>
	或等价地, 对任意 `bm alpha, bm beta in V` 和任意 `k, l in bbb P`,
	<span class="formula">
		`f(k bm alpha + l bm beta) = k f(bm alpha) + l f(bm beta)`.
	</span>
	`V` 到 `W` 的全体线性映射记为 `L(V,W)`.
	特别地, 若 `V = W`, 则称 `f` 为 `V` 上的<b>线性变换</b>.
	`V` 上全体线性变换记为 `L(V)` 或 `End(V)`. 我们将在下节讨论线性变换.
</p>

<p class="corollary">
	设 `f` 是线性空间 `V` 到 `W` 的一个线性映射,
	则对任意 `bm alpha_i in V`, `k_i in bbb P`, `i = 1, 2, cdots, n` 有
	<span class="formula">
		`f(sum_(i=1)^n k_i bm alpha_i) = sum_(i=1)^n k_i f(bm alpha_i)`.
	</span>
	特别取 `n = 1`, `k_1 = -1` 有
	<span class="formula">
		`(AA bm alpha in V)` `f(-bm alpha) = -f(bm alpha)`.
	</span>
	取 `n = 1`, `k_1 = 0` 有
	<span class="formula">
		`f(bm theta_V) = bm theta_W`.
	</span>
</p>

<p class="corollary">
	线性相关向量组在线性映射下的像也线性相关.
</p>

<p class="corollary">
	定义 `f` 的<b>像</b>与<b>核</b>分别为
	<span class="formula">
		`"Im"f := {f(bm alpha) | bm alpha in V}`,<br/>
		`"Ker"f := {bm alpha in V | f(bm alpha) = bm theta}`.
	</span>
	于是, `f` 为满射 `iff "Im"f = W`,
	`f` 为单射 `iff "Ker"f = {bm theta}`.
</p>

<p class="proof">
	我们来证 `f` 为单射 `iff "Ker"f = {bm theta}`.
	"`rArr`": 显然 `bm theta in "Ker"f`, 由 `f` 为单射知 `"Ker"f` 中只有
	`bm theta`.<br/>
	"`lArr`":
	<span class="formula">
		`f(bm alpha) = f(bm beta)`
		`rArr f(bm alpha - bm beta) = bm theta`
		`rArr bm(alpha-beta) in "Ker"f`
		`rArr bm(alpha-beta) = bm theta`
		`rArr bm alpha = bm beta`.
	</span>
	因此 `f` 为单射.
</p>

<ol class="example">
	我们给出两个特殊的线性映射.
	<li>将线性空间 `V` 中任意向量都映到 `bm theta`
		的映射称为<b>零映射</b>, 记为 `bb 0`, 这是一个线性映射.
		`"Im"bb 0 = {bm theta}`, `"Ker"bb 0 = V`.
	</li>
	<li>将线性空间 `V` 中任意向量都映到自身的映射称为<b>恒等映射</b>, 记为
		`bb E`, 这是一个线性映射.
		`"Im"bb E = V`, `"Ker"bb E = {bm theta}`.
	</li>
	事实上两个映射都是线性变换, 所以又称为零变换和恒等变换.
</ol>

<p class="theorem">
	线性映射的像 (原像) 仍为一线性空间.
	设 `f` 是线性空间 `V` 到 `W` 的一个线性映射,
	`V_1 le V`, `W_1 le W`, 则
	<span class="formula">
		`f(V_1) le W`, `quad f^-1(W_1) le V`.
	</span>
	特别有 `"Im"f le W`, `"Ker"f le V`.
</p>

<p class="proof">
	任取 `f(bm alpha), f(bm beta) in f(V_1)`, 其中 `bm alpha, bm beta in
	V_1`, 从而对任意 `k in bbb P`,
	<span class="formula">
		`f(bm alpha) + f(bm beta) = f(bm alpha + bm beta) in f(V_1)`,<br/>
		`k f(bm alpha) = f(k bm alpha) in f(V_1)`.
	</span>
	因此 `f(V_1) le W`. 又任取 `bm gamma, bm delta in f^-1(W_1)`,
	则 `f(bm gamma), f(bm delta) in W_1`, 从而
	<span class="formula">
		`f(bm gamma + bm delta) = f(bm gamma) + f(bm delta) in W_1`,<br/>
		`f(k bm gamma) = k f(bm gamma) in W_1`.
	</span>
	所以 `bm gamma + bm delta, k bm gamma in f^-1(W_1)`, 于是
	`f^-1(W_1) le V`.
</p>

<h3>同构映射</h3>

<p class="definition">
	称 `f` 为 `V` 到 `W` 的一个<b>同构映射</b>, 如果它是线性映射,
	且为双射. 存在 `V` 到 `W` 的同构映射时, 就称 `V` 与 `W` <b>同构</b>,
	记为 `V ~= W`.
</p>

<p class="theorem">
	数域 `bbb P` 上线性空间的同构满足自反性, 对称性和传递性,
	因此是一等价关系.
</p>

<ol class="proof">
	设 `U, V, W` 都是 `bbb P` 上的线性空间, `f: U to V`, `g: V to W`
	为同构映射.
	<li>`U` 上的恒等映射是一同构映射, 故 `U ~= U`. 这证明了自反性.</li>
	<li>显然 `f^-1` 为双射;
		任取 `bm alpha, bm beta in V` 和 `k, l in bbb P`,
		<span class="formula">
			`f f^-1(k bm alpha + l bm beta)`
			`= k bm alpha + l bm beta`
			`= k f f^-1(bm alpha) + l f f^-1(bm beta)`
			`= f(k f^-1(bm alpha) + l f^-1(bm beta))`.
		</span>
		由 `f` 是单射得
		<span class="formula">
			`f^-1(k bm alpha + l bm beta) = k f^-1(bm alpha + l f^-1(bm
			beta))`,
		</span>
		因此 `f^-1` 是同构映射. 这证明了对称性.
	</li>
	<li>显然 `g @ f: U to W` 是双射, 同理容易验证它保持加法和数乘,
		因此是同构映射. 这证明了传递性.
	</li>
</ol>

<p class="theorem">
	数域 `bbb P` 上任意 `n` 维线性空间同构于 `bbb P^n`,
</p>

<p class="proof">
	任取 `V` 的一个基底, 则任意 `bm alpha in V` 都唯一确定一个坐标
	`bm X in bbb P`. 这一映射保持加法和数乘, 且为一双射, 因此是同构映射.
</p>

<p class="corollary">
	数域 `bbb P` 上两个有限维线性空间同构当且仅当它们维数相等.
</p>

<p class="proof">
	充分性: 设它们的维数都等于 `n`, 则它们都同构于 `bbb P^n`.
	必要性: 设 `V ~= W`, `bm alpha_1, cdots, bm alpha_n` 是 `V` 的一个基,
	则 `f(bm alpha_1), cdots, f(bm alpha_n)` 线性无关, 是 `W` 的一个基;
	反之亦然.
</p>

<h2>线性变换</h2>

<h3>线性变换的表示矩阵</h3>

<p class="definition">
	令 `V` 为数域 `bbb P` 上一线性空间, 线性映射 `cc A: V to V` 称为 `V`
	上的<b>线性变换</b>. `V` 上全体线性变换记为 `L(V)`.
	`V` 中向量 `bm alpha` 在线性变换 `cc A` 下的像简单记为 `cc A bm alpha
	:= cc A(bm alpha)`.
	<br/>
	现在取 `V` 的基 `"I" = (bm epsi_1, bm epsi_2, cdots, bm epsi_n)`,
	`AA cc A in L(V)`, 设
	<span class="formula">
		`cc A bm epsi_j = sum_(i=1)^n a_(i j) bm epsi_i`,
		`quad j = 1, 2, cdots, n`.
	</span>
	记 `bm A = (a_(i j))_(n xx n)` `= (bm A_1, bm A_2, cdots, bm A_n)`,
	上式形式地记为
	<span class="formula">
		`(cc A bm epsi_1, cc A bm epsi_2, cdots, cc A bm epsi_n)`
		`= (bm epsi_1, bm epsi_2, cdots, bm epsi_n) bm A`,
	</span>
	其中
	<span class="formula">
		`cc A bm epsi_j = (bm epsi_1, bm epsi_2, cdots, bm epsi_n)bm A_j`,
		`quad j = 1, 2, cdots, n`.
	</span>
	矩阵 `bm A` 称为线性变换 `cc A` 在基底 `"I"` 下的<b>表示矩阵</b>,
	简称为 `cc A` 在 `"I"` 下的矩阵.
	这一表达式与线性空间的坐标变换类似,
	但这里表示矩阵未必像过渡矩阵那样可逆. 注意, 有了线性变换的表示矩阵后,
	任一向量
	<span class="formula">
		`bm alpha = sum_(i=1)^n x_i bm epsi_i`
		`= (bm epsi_1, bm epsi_2, cdots, bm epsi_n) bm X`
	</span>
	在 `cc A` 下的的像都可以确定了:
	<span class="formula">
		`cc A bm alpha = cc A(sum_(i=1)^n x_i bm epsi_i)`
		`= sum_(i=1)^n x_i cc A bm epsi_i`
		`= (cc A bm epsi_1, cc A bm epsi_2, cdots, cc A bm epsi_n) bm X`
		`= (bm epsi_1, bm epsi_2, cdots, bm epsi_n) bm(A X)`,
	</span>
	这就是说 `cc A bm alpha` 在基底 `"I"` 下的坐标为 `bm(A X)`.
</p>

<p class="corollary">
	从上文的推导过程看出,
	<span class="formula">
		`cc A[(bm epsi_1, bm epsi_2, cdots, bm epsi_n) bm X]`
		`= (cc A bm epsi_1, cc A bm epsi_2, cdots, cc A bm epsi_n)bm X`.
	</span>
	这是一个实用公式. 容易看出, 当 `bm X` 不是向量, 而是矩阵时,
	公式也适用.
</p>

<p class="theorem">
	<b>线性变换在不同基底下的矩阵是相似的</b>
	令 `V` 为线性空间, `"I" = (bm xi_1, bm xi_2, cdots, bm xi_n)`,
	`"II" = (bm eta_1, bm eta_2, cdots, bm eta_n)` 是它的两个基, 且
	<span class="formula">
		`(bm eta_1, bm eta_2, cdots, bm eta_n)`
		`= (bm xi_1, bm xi_2, cdots, bm xi_n) bm T`.
	</span>
	又设 `cc A in L(V)` 在 `"I"` 下的矩阵为 `bm A`, 则它在 `"II"`
	下的矩阵为 `bm(T^-1 A T)`.
	反之, 相似的两个矩阵可以视为同一线性变换在不同基底下的矩阵.
</p>

<p class="proof">
	直接计算
	<span class="formula">
		`(cc A bm eta_1, cc A bm eta_2, cdots, cc A bm eta_n)`
		`= (cc A bm eta_1, cc A bm eta_2, cdots, cc A bm eta_n)bm E`
		`= cc A[(bm eta_1, bm eta_2, cdots, bm eta_n)bm E]`
		`= cc A[(bm xi_1, bm xi_2, cdots, bm xi_n)bm T]`
		`= (bm xi_1, bm xi_2, cdots, bm xi_n)bm(A T)`
		`= (bm eta_1, bm eta_2, cdots, bm eta_n)bm(T^-1 A T)`.
	</span>
</p>

<h3>线性变换的若干合成</h3>

<p class="remark">
	类比于向量. 给定线性空间 `V` 的一个基, 则 `V`
	中向量与其在给定基底下的坐标一一对应. 这引出 `V` 与 `bbb P^n`
	的同构关系. 同理, `V` 上的线性变换与其在基底下的矩阵一一对应.
	于是 `L(V)` 与 `bbb P^(n xx n)` 同构. 我们通过适当地定义 `L(V)`
	上的合成, 来达到这一目的.
</p>

<ol class="definition">
	设 `V` 是数域 `bbb P` 上一线性空间.
	<li>数乘. `AA bm alpha in V`, `AA cc A in L(V)`, `AA k in bbb P`, 定义
		<span class="formula">
			`(k cc A)bm alpha = k(cc A bm alpha)`.
		</span>
	</li>
	<li>加法. `AA bm alpha in V`, `AA cc A, cc B in L(V)`, 定义
		<span class="formula">
			`(cc A + cc B)bm alpha = cc A bm alpha + cc B bm alpha`.
		</span>
		引进 `-cc A := -1 cc A`, 从而减法定义为 `cc A-cc B = cc A + (-cc
		B)`.
	</li>
	可以验证数乘与加法的结果仍是 `V` 上的线性变换, 且 `L(V)`
	关于此加法与数乘构成 `bbb P` 上一线性空间. 特别 `"dim"V = n` 时,
	`"dim"L(V) = n^2`. 可以验证 `L(V)` 同构于 `bbb P^(n xx n)`.
	<li>乘法, 或复合. `AA bm alpha in V`, `AA cc A, cc B in L(V)`, 定义
		<span class="formula">
			`(cc(A B))bm alpha = cc A(cc B bm alpha)`.
		</span>
		可以验证 `cc(A B) in L(V)`.
	</li>
	最后, 当 `cc A, cc B` 在 `V` 的某一个基下的矩阵分别为 `bm A, bm B`
	时, `k cc A`, `cc(A+B)`, `cc(A B)` 在同一个基下的矩阵分别为
	<span class="formula">
		`k bm A`, `bm(A+B)`, `bm(A B)`.
	</span>
</ol>

<h3>线性变换可逆的等价条件</h3>

<p class="definition">
	称线性空间 `V` 到自身的同构映射为一<b>自同构变换</b>.
	由定义, 自同构变换即为可逆的线性变换.
</p>

<ol class="theorem">
	设 `V` 为 `bbb P` 上的 `n` 维线性空间, `cc A in L(V)`, 则以下各款等价:
	<li>`cc A` 为一单射;</li>
	<li>`cc A` 为一满射;</li>
	<li>`cc A` 为一双射, 即 `cc A` 为一自同构变换;</li>
	<li>`cc A` 在 `V` 的任意基底下的矩阵可逆;</li>
	<li>`cc A` 在 `V` 的某个基底下的矩阵可逆;</li>
	<li>线性无关向量组在 `cc A` 下的像依然线性无关.</li>
</ol>

<ol class="proof">
	<li>`rArr` 2. 反设 `cc A` 不是满射, 则 `"dim"cc A(V) lt "dim"V = n`.
		于是, 对 `V` 的任一极大无关向量组 `bm alpha_1, bm alpha_2, cdots,
		bm alpha_n`, 有 `cc A bm alpha_1, cc A bm alpha_2, cdots, cc A bm
		alpha_n` 线性相关. 从而, 存在不全为零的 `k_1, cdots, k_n in bbb
		P`, 使得
		<span class="formula">
			`bm theta = sum_(i=1)^n k_i cc A bm alpha_i`
			`= cc A(sum_(i=1)^n k_i bm alpha_i)`
		</span>
		从而 `bm theta != sum_(i=1)^n k_i bm alpha_i in "Ker"cc A`,
		与 `cc A` 是单射矛盾.
	</li>
	<li>`rArr` 3. 只需证 2 `rArr` 1.
		反设 `cc A` 不是单射, 则存在非零的 `bm alpha_1 in "Ker"cc A`.
		扩充 `{bm alpha_1}` 为 `V` 的基 `(bm alpha_1, bm alpha_2, cdots,
		bm alpha_n)`, 于是
		<span class="formula">
			`"Im"cc A = cc A(G[bm alpha_1, bm alpha_2, cdots, bm alpha_n])`
			`= G[cc A bm alpha_1, cc A bm alpha_2, cdots, cc A bm
			alpha_n]`
			`= G[bm theta, cc A bm alpha_2, cdots, cc A bm
			alpha_n] lt V`,
		</span>
		与 `cc A` 是满射矛盾.
	</li>
	<li>`rArr` 4. 由已知 `cc A^-1` 存在, 即 `cc(A A^-1) = cc(A^-1 A) = bb
		E`.  任取 `V` 的一个基,
		记 `cc A`, `cc A^-1` 在该基底下的矩阵为 `bm A, bm B`, 则
		`bm(A B) = bm(B A) = bm E`. 于是 `bm A` 可逆.
	</li>
	<li>`rArr` 5. 显然. 反之由线性变换在不同基底下的矩阵的相似关系, 还有
		5 `rArr` 4, 因此 4 `iff` 5.
	</li>
	<li>`rArr` 6.
		任取线性无关的向量组 `bm alpha_1, bm alpha_2, cdots, bm alpha_r in
		V`, 扩充为 `V` 的基 `(bm alpha_1, cdots, bm alpha_n)`,
		记 `cc A` 在该基底下的矩阵为 `bm A`, 即
		<span class="formula">
			`(cc A bm alpha_1, cc A bm alpha_2, cdots, cc A bm alpha_n)`
			`= (bm alpha_1, bm alpha_2, cdots, bm alpha_n) bm A`.
		</span>
		由 `bm A` 可逆知, `bm A` 可以分解为有限个初等矩阵的乘积, 从而
		`cc A bm alpha_1, cc A bm alpha_2, cdots, cc A bm alpha_n`
		可视为初等变换的结果, 因此线性无关. 从而原向量组线性无关.
	</li>
	<li>`rArr` 1. 若 `cc A` 非单射, 则存在非零向量 `bm alpha in "Ker"cc
		A`. 即 `cc A` 把线性无关的 `bm alpha` 变为线性相关的 `bm theta`
		了, 矛盾.
	</li>
</ol>

<h2>线性空间的直和分解</h2>

<p class="lemma">
	设 `f` 是线性空间 `V` 到 `W` 的一个线性映射,
	且 `f` 不为零映射, 也不为单射.
	`(bm alpha_1, bm alpha_2, cdots, bm alpha_r)` 是 `"Ker"f` 的一个基.
	由已知 `0 lt r lt "dim"V`.
	任取 `bm alpha_(r+1), cdots, bm alpha_n in V`,
	则 `{bm alpha}_(i=1)^n` 线性相关当且仅当
	`{f(bm alpha)}_(i=r+1)^n` 线性相关.
</p>

<p class="proof">
	"`lArr`". 由已知, 存在不全为零的 `k_(r+1), cdots, k_n in bbb P`, 使得
	<span class="formula">
		`bm theta = sum_(i=r+1)^n k_i f(bm alpha_i)`
		`= f(sum_(i=r+1)^n k_i bm alpha_i)`,
	</span>
	即 `sum_(i=r+1)^n k_i bm alpha_i in "Ker"f`. 于是又存在 `k_1, k_2,
	cdots, k_r in bbb P`, 使得
	<span class="formula">
		`sum_(i=r+1)^n k_i bm alpha_i = sum_(i=1)^r k_i bm alpha_i`,
	</span>
	从而 `{bm alpha_i}_(i=1)^n` 线性相关.<br/>
	"`rArr`". 由已知, 存在不全为零的 `k_1, k_2, cdots, k_n in bbb P`,
	使得
	<span class="formula">
		`sum_(i=1)^n k_i bm alpha_i = bm theta`.
	</span>
	断言 `k_(r+1), cdots, k_n` 不全为零, 否则有
	<span class="formula">
		`sum_(i=1)^r k_i bm alpha_i = bm theta`,
	</span>
	再由 `{bm alpha_i}_(i=1)^r` 线性无关知 `k_1 = cdots = k_r = 0`,
	进而 `k_1 = cdots = k_n = 0`, 矛盾.
	现在注意到
	<span class="formula">
		`f(sum_(i=1)^r k_i bm alpha_i) = bm theta`,
	</span>
	所以
	<span class="formula">
		`sum_(i=r+1)^n k_i f(bm alpha_i)`
		`= f(sum_(i=r+1)^n k_i bm alpha_i) + bm theta`
		`= f(sum_(i=1)^n k_i bm alpha_i)`
		`= f(bm theta)`
		`= bm theta`.
	</span>
	即 `{f(bm alpha)}_(i=r+1)^n` 线性相关.
</p>

<p class="theorem">
	(Sylvester) 令 `f` 为有限维线性空间 `V` 到 `W` 的线性映射, 则
	<span class="formula">
		`"dimKer"f + "dimIm" f = "dim"V`.
	</span>
</p>

<p class="proof">
	不妨设 `"dim"V = n gt 0`.
	`f` 为单射时, `"dimKer"f = 0`, `"dimIm"f = n`.
	`f` 为零映射时, `"dimKer" f = n`, `"dimIm" f = 0`,
	定理成立. 下面设 `f` 既不是单射, 又不是零映射, 取 `"Ker"f` 的基
	`(bm alpha_1, bm alpha_2, cdots, bm alpha_r)`, `0 lt r lt n`,
	将它扩充为 `V` 的基底 `(bm alpha_1, bm alpha_2, cdots, bm alpha_n)`.
	`AA bm alpha = sum_(i=1)^n k_i bm alpha_i`, 有
	<span class="formula">
		`f(bm alpha)`
		`= f(sum_(i=1)^r k_i bm alpha_i + sum_(i=r+1)^n k_i bm alpha_i)`
		`= sum_(i=r+1)^n k_i f(bm alpha_i)`,
	</span>
	从而 `"Im"f = G[f(bm alpha_(r+1)), cdots, f(bm alpha_n)]`.
	由引理, `f(bm alpha_(r+1)), cdots, f(bm alpha_n)` 线性无关, 从而构成
	`"Im"f` 的基, `"dimIm" f = n-r`. 于是定理的结论成立.
</p>

<p class="proof">
	(参考群同态基本定理)
	由于 `"Ker"f` 的基能够扩充为 `V` 的基, 由维数公式的推论, 存在子空间
	`V_1 le V`, 使得 `V = V_1 o+ "Ker"f`.<br/>
	考察 `V_1` 到 `"Im"f` 的线性映射 `f|_(V_1)`. 由于 `AA bm alpha + bm
	beta in V`, 其中 `bm alpha in V_1, bm beta in "Ker"f`, 有
	<span class="formula">
		`f(bm alpha + bm beta) = f(bm alpha) in f(V_1)`,
	</span>
	从而 `"Im"f sube f(V_1)`. 又显然 `f(V_1) sube f(V) = "Im"f`,
	故 `"Im"f = f(V_1)`. 这指出 `f|_(V_1)` 是满射;<br/>
	另一方面,
	<span class="formula">
		`"Ker"(f|_(V_1)) = V_1 nn "Ker"f = {bm theta}`,
	</span>
	从而 `f|_(V_1)` 是单射.
	综上有 `f|_(V_1)` 是 `V_1` 到 `"Im"f` 的同构映射, `V_1 ~= "Im"f`, 于是
	<span class="formula">
		`"dim"V = "dim"V_1 + "dimKer" f`
		`= "dimIm"f + "dimKer" f`.
	</span>
</p>

<p class="remark">
	从 Sylvester 定理的第二种证明看出, 存在一个同构于 `"Im"f` 的子空间
	`V_1`, 使得 `V` 可以分解为 `V_1` 与 `"Ker"f` 的直和.
	但一般不成立 `V = "Im"f o+ "Ker"f`.
</p>

<p class="example">
	设 `cc A in L(V)` 为幂等变换, 即 `cc A^2 = cc A`, 则
	<span class="formula">
		`V = "Im"f o+ "Ker"f`.
	</span>
</p>

<ol class="proof">
	<li>任取 `bm alpha in V`, 则
		<span class="formula">
			`cc A(bm alpha - cc A bm alpha)`
			`= cc A bm alpha - cc A^2 bm alpha`
			`= bm theta`,
		</span>
		故 `bm alpha - cc A bm alpha in "Ker"cc A`.
		<span class="formula">
			`bm alpha = cc A bm alpha +(bm alpha - cc A bm alpha)`
			`in "Im"cc A + "Ker"cc A`.
		</span>
		这指出 `V = "Im"cc A + "Ker"cc A`.
	</li>
	<li>`AA bm alpha in "Im"cc A nn "Ker" cc A`, 于是
		<span class="formula">
			`(EE bm beta in V)` `cc A bm beta = bm alpha`,
			`quad cc A bm alpha = bm theta`.
		</span>
		所以
		<span class="formula">
			`bm theta = cc A bm alpha`
			`= cc A^2 bm beta = cc A bm beta`
			`= bm alpha`.
		</span>
		这指出 `"Im"cc A nn "Ker" cc A = {bm theta}`,
		于是 `V = "Im"f o+ "Ker"f`.
	</li>
</ol>

<ol class="theorem">
	令 `cc A in L(V)` 在 `V` 的基 `(bm epsi_1, bm epsi_2, cdots, bm
	epsi_n)` 下的矩阵为 `bm A`, 则
	<li>`"Im"cc A = G[cc A bm epsi_1, cc A bm epsi_2, cdots, cc A bm
		epsi_n]`;
	</li>
	<li>`r_(bm A) = "dimIm"cc A`.</li>
</ol>

<ol class="theorem">
	令 `V` 是 `bbb P` 上的线性空间, `cc A, cc B in L(V)`, 则
	<li>`"Ker"cc A sube "Ker"cc B iff EE cc C in L(V), cc(C A) = cc B`;
	</li>
	<li>`"Im"cc B sube "Im"cc A iff EE cc C in L(V), cc(A C) = cc B`.</li>
	因此, `"Ker"cc A = "Ker" cc B` 当且仅当 `cc A`, `cc B` 互为右因子;
	`"Im"cc A = "Im"cc B` 当且仅当 `cc A`, `cc B` 互为左因子.
</ol>

<ol class="proof">
	<li>"`lArr`": `AA bm alpha in "Ker" cc A`, 有
		`cc A bm alpha = 0`, 则 `cc B bm alpha = cc(C A)bm alpha =
		cc C bm theta = bm theta`, 即 `bm alpha in "Ker" cc B`.<br/>
		"`rArr`":
		`"Ker"cc A = {bm theta}` 时, `cc A` 为一单射, 从而为一双射.
		取 `cc C = cc(B A)^-1`, 就有 `cc(C A) = cc B`.<br/>
		`"Ker"cc A != {bm theta}` 时, 取 `"Ker"cc A` 的基 `(bm epsi_1,
		cdots, bm epsi_r)`, 扩充为 `V` 的基 `(bm epsi_1, cdots, bm
		epsi_n)`. 于是由 `"Ker"cc A sube "Ker"cc B` 有
		<span class="formula">
			`cc A bm epsi_1 = cdots = cc A bm epsi_r = bm theta`,<br/>
			`cc B bm epsi_1 = cdots = cc B bm epsi_r = bm theta`.
		</span>
		由引理, `cc A bm epsi_(r+1), cdots, cc A bm epsi_n` 线性无关.
		将这一无关组扩充为 `V` 的基 `(bm eta_1, cdots, bm eta_r,
		cc A bm epsi_(r+1), cdots, cc A bm epsi_n)`.
		现在作线性变换 `cc C`:
		<span class="formula">
			`cc C(bm eta_i) = bm theta`, `quad i = 1, 2, cdots, r`,<br/>
			`cc C(cc A bm epsi_i) = cc B bm epsi_i`, `quad i = r+1, cdots,
			n`.
		</span>
		可以验证 `cc(C A) = cc B`.
	</li>
	<li>"`lArr`":
		<span class="formula">
			`"Im"cc B = cc B(V) = cc(A C)(V)`
			`sube cc A(V) = "Im"cc A`.
		</span>
		<br/>
		"`rArr`": `"Ker"cc B = {bm theta}` 时, `cc B` 为一单射,
		从而为一满射, 于是 `"Im"cc A supe "Im"cc B = V`, 即 `cc A`
		为一满射, 从而 `cc A` 为一双射. 取 `cc C = cc(A^-1 B)`, 就有
		`cc(A C) = cc B`.<br/>
		`"Ker"cc B != {bm theta}` 时, 取 `"Ker"cc B` 的基 `(bm alpha_1,
		cdots, bm alpha_r)`, 扩充为 `V` 的基 `(bm alpha_1, cdots, bm
		alpha_n)`. 由 `"Im"cc B sube "Im"cc A` 有
		<span class="formula">
			`(EE bm beta_i in V)` `cc A bm beta_i = cc B bm alpha_i`,<br/>
			`i = r+1, cdots, n`.
		</span>
		现在作线性变换 `cc C`:
		<span class="formula">
			`cc C bm alpha_i = {
				bm theta, if i = 1","2","cdots","r;
				bm beta_i, if i = r+1","cdots","n;
			:}`
		</span>
		可以验证 `cc(A C) = cc B`.
	</li>
</ol>

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</body>
</html>
